Tesis Doctorales

Universidad Politécnica de Cataluña - España

• Curvas elípticas módulo N y aplicaciones criptográficas
  • Autor: D. Sebastià Martín Molleví
  • Tutor: D. Paz Morillo Bosch
  • Fecha: 1998
  • Resumen: En esta tesis se han obtenido por un lado resultados de tipo teórico aplicables al ámbito de la criptografía de clave pública, así como también aplicaciones criptográficas concretas. De entrada, se ha realizado un estudio minucioso de los resultados teóricos existentes relativos a las curvas elípticas definidas sobre cuerpos y anillos finitos. También se ha elaborado una breve recopilación comentada de las aplicaciones criptográficas de las curvas elípticas definidas sobre el anillo de los enteros modulo N, Z_N, para N entero compuesto, resaltando que en ninguna de ellas se dotaba al conjunto de puntos de una curva elíptica de estructura de grupo, sino que se realizaban las operaciones como si Z_N fuera un cuerpo.
    
    La primera aportación original de la tesis ha sido definir una estructura de grupo en el conjunto de puntos de una curva elíptica definida en Z_N. Hemos desglosado la tarea en dos casos que difieren esencialmente en las técnicas empleadas: enteros libres de cuadrados, y potencias de primos. En este ultimo caso, hemos definido la operación de una curva elíptica definida en Z_p^r, para valores de r menores o iguales que p, analizando las diferencias y dificultades surgidas si r>p.
    
    En segundo lugar, hemos encontrado un problema computacionalmente tan difícil como la factorización de enteros grandes: el cálculo del orden de puntos de una curva elíptica definida en Z_pq, con p y q primos distintos. Con este nuevo problema se abre una nueva vía la búsqueda de criptosistemas, la seguridad de los cuales se fundamente en la dificultad del cálculo del orden de puntos de curvas elípticas definidas en Z_pq.
    
    Finalmente, la ultima aportación original que contiene este trabajo se sitúa ya en el terreno de las aplicaciones criptográficas. Se trata del diseño de un criposistema de tipo Knapsack multiplicativo, utilizando curvas elípticas definidas en Z_N. Esta es la primera vez que se da una versión elíptica de un criptosistema de tipo Knapsack. La seguridad de éste queda garantizada por la dificultad del nuevo problema criptográficamente difícil anteriormente citado.

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